definição de leibniz de identidade (p. 76): "Things are the same as each other, of which one can be substituted for the other without loss of truth."

conceito de número:

• uma relação ϕ é uma RELAÇÃO BIUNÍVOCA (relação de um para um)...
  • ... se ϕ é uma relação tal que a e x são o mesmo objeto se
    • a tem uma relação ϕ com b; e se
    • x tem uma relação ϕ com b
  • ... se ϕ também é uma relação tal que b e y são o mesmo objeto se
    • o a tem uma relação ϕ com b; e se
    • o a tem uma relação ϕ com y
• o conceito F é EQUINÚMERO ao conceito G se existe uma relação biunívoca de cada um dos objetos que caem sob o conceito F com cada um dos objetos que caem sob o conceito G e vice-versa"
• seja F qualquer conceito, o número que pertence ao conceito F é a extensão do conceito "equinúmero ao conceito F"
• n é um número se existe um conceito tal que n é o número que pertence a ele.

conceitos dos números particulares:

• ZERO é o número que pertence ao conceito "não idêntico a si mesmo" (sob esse conceito não cai nenhum objeto)
• UM é o número que pertence ao conceito "idêntico a zero" (sob esse conceito cai apenas um objeto, que é o próprio conceito "zero")
• o número n segue o número m na série dos números naturais se e somente se existe um conceito F, e um objeto x que cai sob ele, tal que o número que pertente ao conceito F é n e o número que pertence ao conceito "cai sob F mas não é idêntico a x" é m
• a proposição "se todo objeto com o qual x tem uma relação ϕ cai sob o conceito F, e se da proposição de que d cai sob o conceito F segue universalmente, qualquer que seja d, que cada objeto com o qual d tem essa relação ϕ cai sob o conceito F, então y cai sob o conceito F qualquer que seja o conceito F." significa o mesmo que "y segue x na série-ϕ" e o mesmo que "x vem antes de y na série-ϕ".
• n é o número que pertence ao conceito "membro da série de números naturais terminada em n"

críticas a frege:

• como os conjuntos (os "conceitos") e seus elementos são ambos tratados como objetos de mesma ordem, o paradoxo de russell se aplica (definimos A é o conjunto dos conjuntos que não tem a si mesmos como um elemento: então, se A pertence a A, A não pertence a A, e vice versa). por isso, russell elabora a teoria dos tipos: a cada objeto matemático é conferido um tipo hierárquico de modo tal que cada objeto só pode ser definido por objetos hierarquicamente inferiores. portanto, um conjunto não pode ter a si mesmo como elemento. o problema de fundo, que será resolvido pela formalização lógica, é que os conjuntos são definidos semanticamente, e não com referência a seus elementos (daí o problema da noção fregeana de "extensão"). isso será resolvido pelo axioma da extensionalidade de zermelo.